Urodził się w Środzie 12 stycznia 1885 r. w rodzinie Nikodema i Łucji z domu Mizgalskiej. Do gimnazjum uczęszczał w Ostrowie Wlkp. Był członkiem Towarzystwa Tomasza Mana. Po zdaniu matury w 1906 r. studiował w Berlinie, gdzie ukończył wyższe studia rolnicze. Następnie odbył jednoroczną służbę wojskową, a potem udał się na praktykę zawodową aż do wybuchu I wojny światowej.

W czasie I wojny światowej powołany do armii pruskiej, walczył w stopniu podporucznika na froncie zachodnim. 23 grudnia 1918 r. wrócił do Środy Wlkp. W pierwszych dniach stycznia 1919 r. wyruszył jako dowódca 2 kompanii średzkiej pod Szubin i dowodził nią aż do zakończenia walk. Dane dotyczące udziału Antoniego Pospieszalskiego w walkach powstańczych opisane są książce dr Włodzimierza Lewandowskiego pt. „Bój o Szubin”. Również w książce Edwarda Górnickiego „Bitwa szalała do wieczora” opisano jeden z epizodów walki, gdzie był obecny powstaniec Pospieszalski ze swoim średzkim oddziałem.

W końcu lutego 1919 r. przeniesiony do Intendentury w Poznaniu przy ul. Solnej. W maju 1920 r. zawarł związek małżeński z Wandą Kubowicz. Uroczystości odbywały się w Kościanie. Miał dwie córki: Krystynę (ur. 1923), wykształcenie wyższe rolnicze i Marię (ur. 1925), wykształcenie wyższe rolnicze.

W lipcu 1921 r. przeszedł do rezerwy w stopniu majora WP. Uczestniczył w organizacji, finansowaniu i budowie Kwatery Powstańców i Pomnika ku ich czci w Środzie Wlkp. Był dzierżawcą domeny ziemskiej Kopaszyce oraz właścicielem majątku Libartowo pod Kostrzynem. Zmarł w Poznaniu 12 listopada 1953 r.

Pochowany został w Kwaterze Powstańców na cmentarzu w Środzie Wlkp. Był odznaczony Krzyżem Niepodległości.

(autorka wspomnienia Krystyna Pospieszalska)